Справочник формул

Автор

Mohammad Alkousa

Дата публикации

26 сентября 2025 г.

Комплексные числа

Мнимая единица (imaginary unit): \(i^2 = -1\)
Алгебраическая форма (standard form): \(z = a + bi\)
Модуль (modulus): \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Аргумент (argument): \(\theta = \arctan(b/a)\)
Окружность на комплексной плоскости: \(|z - c| = r\)
Тригонометрическая форма (trigonometric form): \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
Формула Эйлера (Euler’s formula): \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)
Показательная (полярная) форма (exponential / polar form): \(z = re^{i\theta}\)
Система для квадратных корней из \(x+yi\): \[ \begin{cases} a^2 - b^2 = x \\ 2ab = y \end{cases} \]
Теорема де Мойвра (степени) (De Moivre’s theorem, powers): \(z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))\)
Теорема де Мойвра (корни) (De Moivre’s theorem, roots): \[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] при \(k = 0, 1, \dots, n-1\).

Функции

Чётная часть (even part): \[f_{\text{even}}(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}\]
Нечётная часть (odd part): \[f_{\text{odd}}(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}\]
Композиция (composition): \[(f \circ g)(x) = f(g(x))\]
Обратная функция (inverse): \(y=f(x) \implies x=f^{-1}(y)\)

Тригонометрия

Основное тождество (Pythagorean identity): \[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\]
Связь arcsin и arccos (inverse trigonometric identity): \[\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}\]
Нечётность arcsin (inverse sine as an odd function): \[\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\]
Взаимные аргументы (inverse reciprocal identity): \[\arcsin\left(\frac{1}{x}\right) = \text{arccsc}(x)\]

Гиперболические функции

sinh (hyperbolic sine): \[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\]
cosh (hyperbolic cosine): \[\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\]
Основное тождество (hyperbolic identity): \[\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\]
Связи с обратными тригонометрическими (hyperbolic–inverse-trig identities):
- \(\sinh(\text{arccosh } x) = \sqrt{x^2 - 1}\)
- \(\sinh(\text{arctanh } x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
- \(\cosh(\text{arcsinh } x) = \sqrt{1+x^2}\)
- \(\cosh(\text{arctanh } x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
- \(\tanh(\text{arcsinh } x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)
- \(\tanh(\text{arccosh } x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\)
Логарифмическая форма arsinh: \[\text{arsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})\]
Логарифмическая форма arcosh: \[\text{arcosh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})\]
Логарифмическая форма artanh: \[\text{artanh}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\]
Логарифмическая форма arcsch: \[\text{arcsch}(x) = \ln\left(\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}\right)\]
Логарифмическая форма arsech: \[\text{arsech}(x) = \ln\left(\frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x}\right)\]
Логарифмическая форма arcoth: \[\text{arcoth}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\]

Алгебра и неравенства

Бином Ньютона (binomial theorem): \[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
Сумма кубов (sum of cubes): \[1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
Неравенство треугольника (triangle inequality): \(|x + y| \le |x| + |y|\)
Неравенство Бернулли (Bernoulli’s inequality): при \(x > -1\) и целом \(n \ge 1\), \((1+x)^n \ge 1+nx\).

Последовательности и пределы

Арифметическая прогрессия (\(n\)-й член) (arithmetic sequence, \(n\)-th term): \(a_n = a_1 + (n-1)r\)
Арифметическая прогрессия (сумма) (arithmetic sequence, sum): \[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]
Геометрическая прогрессия (\(n\)-й член) (geometric sequence, \(n\)-th term): \(a_n = a_1 q^{n-1}\)
Геометрическая прогрессия (сумма) (geometric sequence, sum): \[S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}\]
Определение предела последовательности (limit definition): \(\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff (\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ such that } n > N \implies |a_n - L| < \epsilon)\)
Расходимость к \(+\infty\) (divergence to infinity): \(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty \iff (\forall M > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ such that } n > N \implies a_n > M)\)
Теорема о зажатой последовательности (squeeze theorem): если \(a_n \le b_n \le c_n\) при \(n>N\) и \(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L\), то \(\lim_{n \to \infty} b_n = L\).
Сумма пределов (sum rule): \(\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n\)
Постоянный множитель (constant multiple rule): \(\lim_{n \to \infty} (\alpha a_n) = \alpha \lim_{n \to \infty} a_n\)
Произведение пределов (product rule): \(\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = (\lim_{n \to \infty} a_n) \cdot (\lim_{n \to \infty} b_n)\)
Частное пределов (quotient rule): \[\lim_{n \to \infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty} b_n}\]
Число \(e\) (the number \(e\)): \[e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\]
Предельное определение \(e^x\) (limit definition of \(e^x\)): \(\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x\)
Признак отношения для последовательностей (ratio test for sequences): если \(L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) и \(L < 1\), то \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).
Определение последовательности Коши (Cauchy sequence): для любого \(\epsilon > 0\) существует \(N \in \mathbb{N}\) такое, что для любых \(m, n > N\) выполняется \(|a_m - a_n| < \epsilon\).
Рекурсивное вычисление предела (recursive limit evaluation): если \(\lim_{n \to \infty} a_n = L\) и \(a_{n+1} = f(a_n)\), где \(f\) непрерывна, то \(L=f(L)\).

Ряды

Запись ряда (series notation): \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots\)
Частичная сумма (\(n\)-th partial sum): \(s_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n\)
Сумма сходящегося ряда (sum of a convergent series): \(s = \lim_{n \to \infty} s_n\)
Телескопический ряд (general telescoping series sum): если \(a_n = b_n - b_{n+1}\), то \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = b_1 - \lim_{n \to \infty} b_{n+1}\).
Ряд Менголи (Mengoli series): \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1\)
Обобщённая телескопическая сумма (generalized telescoping sum): \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)\cdots(n+r)} = \frac{1}{r \cdot r!}\)
Сумма геометрического ряда (geometric series sum): при \(|q| < 1\), \(\sum_{n=0}^{\infty} aq^n = \frac{a}{1-q}\).
Расходимость гармонического ряда (harmonic series): \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty\)
Сходимость \(p\)-ряда (\(p\)-series): \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) сходится тогда и только тогда, когда \(p > 1\).
Линейность ряда (linear property): \(\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n + \beta b_n) = \alpha \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \beta \sum_{n=1}^{\infty} b_n\)
Необходимое условие сходимости (necessary condition): если \(\sum a_n\) сходится, то \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).
Признак расходимости по общему члену (\(n\)-th-term test for divergence): если \(\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\) или предела нет, то \(\sum a_n\) расходится.
Прямое сравнение (direct comparison test): если \(0 \leq a_n \leq b_n\), то: (1) из сходимости \(\sum b_n\) следует сходимость \(\sum a_n\); (2) из расходимости \(\sum a_n\) следует расходимость \(\sum b_n\).
Предельное сравнение (limit comparison test): если \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L\), где \(0 < L < \infty\), то ряды \(\sum a_n\) и \(\sum b_n\) ведут себя одинаково.
Признак Даламбера (ratio test): пусть \(L = \lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|\). Если \(L < 1\), ряд сходится абсолютно. Если \(L > 1\), ряд расходится. Если \(L = 1\), признак не даёт ответа.
Признак Коши (радикальный) (root test): пусть \(L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\). Если \(L < 1\), ряд сходится абсолютно. Если \(L > 1\), ряд расходится. Если \(L = 1\), признак не даёт ответа.
Признак Лейбница (Leibniz test): если \(\{a_n\}\) невозрастает и \(\lim a_n = 0\), то \(\sum (-1)^{n+1} a_n\) сходится.
Абсолютная сходимость (absolute convergence): если \(\sum |a_n|\) сходится, то \(\sum a_n\) сходится.
Сумма знакочередующегося гармонического ряда (alternating harmonic series): \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln(2)\)
Произведение Коши рядов (Cauchy product): \((\sum a_n)(\sum b_n) = \sum c_n\), где \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\)

Степенные ряды

Вид степенного ряда (power series form): \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n\)
Радиус сходимости (Даламбер) (radius of convergence, ratio): \(R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)
Радиус сходимости (Коши) (radius of convergence, root): \(R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\)

Пределы и непрерывность функций

Определение предела (\(\varepsilon\)-\(\delta\)) (limit definition): \(\lim_{x \to c} f(x) = L \iff (\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: 0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \varepsilon)\)
Предел справа (right-hand limit): \(\lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff (\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: c < x < c+\delta \implies |f(x)-L| < \varepsilon)\)
Предел слева (left-hand limit): \(\lim_{x \to c^-} f(x) = L \iff (\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: c-\delta < x < c \implies |f(x)-L| < \varepsilon)\)
Существование предела (limit existence): \(\lim_{x \to c} f(x) = L \iff \lim_{x \to c^-} f(x) = L \text{ and } \lim_{x \to c^+} f(x) = L\)
Предел на бесконечности (limit at infinity): \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L \iff (\forall \varepsilon > 0, \exists M: x > M \implies |f(x)-L| < \varepsilon)\)
Бесконечный предел (infinite limit): \(\lim_{x \to c} f(x) = \infty \iff (\forall B > 0, \exists \delta > 0: 0 < |x-c| < \delta \implies f(x) > B)\)
Сумма пределов функций (sum rule): \(\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\)
Произведение пределов (product rule): \(\lim_{x \to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\)
Частное пределов (quotient rule): \(\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}\) (если знаменатель \(\neq 0\))
Степень предела (power rule): \(\lim_{x \to c} [f(x)]^n = [\lim_{x \to c} f(x)]^n\)
Корень предела (root rule): \(\lim_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to c} f(x)}\) (с учётом области определения)
Предел многочлена (polynomial limit): если \(P(x)\) — многочлен, то \(\lim_{x \to c} P(x) = P(c)\)
Предел рациональной функции (rational function limit): \(\lim_{x \to c} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(c)}{Q(c)}\) при \(Q(c) \neq 0\)
Теорема о зажатой функции (sandwich (squeeze) theorem): если \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) около \(c\) и \(\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L\), то \(\lim_{x \to c} f(x) = L\)
Первый замечательный предел (important trigonometric limit): \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1\) (\(\theta\) в радианах)
Связанные тригонометрические пределы (related trigonometric limits): \(\lim_{\theta \to 0} \sin \theta = 0\), \(\lim_{\theta \to 0} \cos \theta = 1\)
Предел тангенса (tangent limit): \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1\)
Показательный предел (форма 1) (exponential limit, form 1): \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)
Показательный предел (форма 2) (exponential limit, form 2): \(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e\)
Обобщённый показательный предел (general exponential limit): \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a\)
Предел с логарифмом (exponential–logarithmic limit): \(\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a\) (при \(a > 0\))
Неопределённость \(1^{\infty}\) (indeterminate form \(1^{\infty}\)): если \(\lim_{x \to c} g(x) = 1\) и \(\lim_{x \to c} h(x) = \infty\), то \(\lim_{x \to c} (g(x))^{h(x)} = e^{\lim_{x \to c} [h(x)(g(x)-1)]}\)
Непрерывность в точке (continuity at a point): \(f\) непрерывна в \(c\), если \(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\)
Композиция непрерывных (composition of continuous functions): если \(f\) непрерывна в \(c\), а \(g\) непрерывна в \(f(c)\), то \(g \circ f\) непрерывна в \(c\)
Предел композиции (limit of continuous composition): если \(\lim_{x \to c} f(x) = b\) и \(g\) непрерывна в \(b\), то \(\lim_{x \to c} g(f(x)) = g(b)\)
Теорема Больцано–Коши о промежуточном значении (intermediate value theorem): если \(f\) непрерывна на \([a,b]\) и \(y_0\) лежит между \(f(a)\) и \(f(b)\), то \(\exists c \in [a,b]\) такое, что \(f(c) = y_0\)

Дифференцирование

Базовые правила:

Производная константы (constant rule): \(\frac{d}{dx}(c) = 0\)
Степенное правило (power rule): \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\) для любого вещественного \(n\)
Постоянный множитель (constant multiple rule): \(\frac{d}{dx}(cu) = c\frac{du}{dx}\)
Сумма (sum rule): \(\frac{d}{dx}(u + v) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}\)
Разность (difference rule): \(\frac{d}{dx}(u - v) = \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}\)
Произведение (product rule): \(\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\)
Частное (quotient rule): \(\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\) (при \(v \neq 0\))
Цепное правило (chain rule): \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)

Производные элементарных функций:

Показательные (exponential functions):
- \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\)
- \(\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a\) при \(a > 0\)
Логарифмические (logarithmic functions):
- \(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\) при \(x > 0\)
- \(\frac{d}{dx}(\ln |x|) = \frac{1}{x}\) при \(x \neq 0\)
Тригонометрические (trigonometric functions):
- \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)
- \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)
- \(\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\)
- \(\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}\)
- \(\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x\)
- \(\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x\)
Обратные тригонометрические (inverse trigonometric functions):
- \(\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) при \(|x| < 1\)
- \(\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) при \(|x| < 1\)
- \(\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}\) для всех \(x\)
- \(\frac{d}{dx}(\text{arccot } x) = -\frac{1}{1+x^2}\)
- \(\frac{d}{dx}(\text{arcsec } x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\) при \(|x| > 1\)
- \(\frac{d}{dx}(\text{arccsc } x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\) при \(|x| > 1\)
Гиперболические (hyperbolic functions):
- \(\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x\)
- \(\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x\)
- \(\frac{d}{dx}(\tanh x) = \frac{1}{\cosh^2 x}\)

Цепное правило для \(u = u(x)\) (chain rule forms):

\((u^n)' = nu^{n-1}u'\)
\((e^u)' = e^u u'\)
\((a^u)' = a^u u' \ln a\) при \(a > 0\)
\((\ln u)' = \frac{u'}{u}\) при \(u > 0\)
\((\sin u)' = u' \cos u\)
\((\cos u)' = -u' \sin u\)
\((\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}\)
\((\arcsin u)' = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\) при \(|u| < 1\)
\((\arctan u)' = \frac{u'}{1+u^2}\)

Производная обратной функции (inverse function rule):

\((f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}\), где \(b = f(a)\)

Производные высших порядков (higher-order derivatives):

Формула Лейбница (Leibniz formula): \((fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k)}\)
Частые случаи (common higher derivatives):
- \((\ln x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}\) при \(n \ge 1\)
- \((\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})\) при \(n \ge 1\)
- \((\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})\) при \(n \ge 1\)
- \((x^{-1})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\) при \(n \ge 1\)

Правило Лопиталя (L’Hôpital’s rule):

Если \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0\) или оба \(= \pm\infty\), то: \[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\] (если правая часть существует или равна \(\pm\infty\))

Ряд Тейлора (ряд Маклорена при \(x = 0\)) (Taylor / Maclaurin series):

Общая формула (general formula): \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n\)
Формула Тейлора с остатком (Taylor’s formula): \(f(x) = T_n(x) + R_n(x)\), где \(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\alpha)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}\)
Стандартные разложения (common series, при \(x = 0\)):
- \(e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
- \(\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)
- \(\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\)
- \(\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\) при \(|x| < 1\)
- \((1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots\) при \(|x| < 1\)
- \(\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\) при \(|x| < 1\)
- \(\arctan x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots\) при \(|x| \le 1\)

Теоремы и тесты (theorems and tests):

Теорема Ферма (Fermat’s theorem): если \(f\) имеет локальный экстремум во внутренней точке \(c\) и существует \(f'(c)\), то \(f'(c) = 0\)
Теорема Ролля (Rolle’s theorem): если \(f\) непрерывна на \([a,b]\), дифференцируема на \((a,b)\) и \(f(a) = f(b)\), то \(\exists c \in (a,b)\) с \(f'(c) = 0\)
Теорема Лагранжа (mean value theorem): если \(f\) непрерывна на \([a,b]\) и дифференцируема на \((a,b)\), то \(\exists c \in (a,b)\) такое, что: \[f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
Монотонность по знаку производной (monotonicity test):
- \(f'(x) > 0\) на \((a,b) \implies f\) возрастает на \([a,b]\)
- \(f'(x) < 0\) на \((a,b) \implies f\) убывает на \([a,b]\)
Первый достаточный признак экстремума (first derivative test): в критической точке \(c\):
- \(f'\) меняется с \(-\) на \(+\): локальный минимум
- \(f'\) меняется с \(+\) на \(-\): локальный максимум
- знак \(f'\) не меняется: экстремума нет
Второй достаточный признак (second derivative test): если \(f'(c) = 0\):
- \(f''(c) > 0\): локальный минимум
- \(f''(c) < 0\): локальный максимум
- \(f''(c) = 0\): признак не даёт ответа
Выпуклость (concavity test):
- \(f''(x) > 0\) на \(I \implies f\) выпукла вниз (concave up) на \(I\)
- \(f''(x) < 0\) на \(I \implies f\) выпукла вверх (concave down) на \(I\)